4. Exkurs: Kommazahlen im Binärsystem
Versucht man im Binärsystem zum Beispiel 18:4 zu teilen, stellt man schnell fest, dass auch hier Brüche/ Kommazahlen notwendig sind. Um Kommazahlen darzustellen gibt es auch hier zwei verschiedene Varianten.
4.1 Festkomma
Die Festkommadarstellung (auch fixed point genannt) ist eine Methode, um nicht-ganzzahlige Werte im Binärsystem darzustellen. Hierbei ist die Position des Kommas fest definiert. Dies vereinfacht Berechnungen erheblich, da keine komplexe Logik zur Verwaltung der Kommaposition erforderlich ist.
Eine Festkommazahl ist eine Zahl, bei der die Position des Kommas vorher definiert ist.
Sie wird in zwei Teile unterteilt:
- Vorkommaanteil: Dieser wird wie bei einer normalen Binärzahl angegeben.
- Nachkommaanteil: Hier hat jede Stelle einen negativen Zweierpotenz-Wert.
| Zweierpotenz | ... | 23 | 22 | 21 | 20 | 2-1 | 2-2 | 2-3 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Dezimal | ... | 8 | 4 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 | 0,125 | ... |
Beispiel:
8-Bit, mit vier Nachkommastellen (4,4): 0101 1100.
- Vorkommaanteil: 0101
- 0⋅23 +1⋅22+0⋅21+1⋅20 =0+4+0+1=5
- Nachkommaanteil: 1100
- 1⋅2-1+1⋅2-2+0⋅2-3+0⋅2-4 =1⋅0,5+1⋅0,25+0+0=0,75
Vor- und Nachteile
+ Addition und Subtraktion können mit denselben Algorithmen wie für Ganzzahlen durchgeführt werden.
+ Rechenoperationen sind in der Regel sehr schnell
- Die Anzahl der Stellen vor und nach dem Binärpunkt ist fest. Dies grenzt den darstellbaren Wertebereich und die Genauigkeit stark ein und macht unflexibel.
- Bei Überschreitung des darstellbaren Wertebereichs kommt es zu einem Überlauf.
Festkommazahlen finden vor allem Anwendung in eingebetteten Systemen, Signalverarbeitung und Grafikprogrammierung, wo eine hohe Rechengeschwindigkeit wichtiger ist als eine variable Genauigkeit.
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
Überlege dir, welche ganz einfachen Kommazahlen im Dezimalsystem im Binärsystem nicht genau dargestellt werden können.
4.2 Gleitkomma
Die Gleitkommadarstellung (auch floating point genannt) ist eine Methode, um sehr große oder sehr kleine Zahlen, wie sie oft in wissenschaftlichen Berechnungen vorkommen, im Binärsystem darzustellen. Ähnlich wie im Dezimalsystem (z. B. 6,022⋅1023), verschiebt sich das Komma an die immer hinter die höchstwertige Stelle. Das Komma "gleitet" quasi an eine andere Position.
Eine Gleitkommazahl ist eine Zahl, bei der das Komma "wandern" kann. Sie wird in drei Teile unterteilt:
- Das Vorzeichenbit: gibt an, ob die Zahl positiv (0) oder negativ (1) ist
- Die Mantisse: gibt den genauen Wert der Zahl an
- Der Exponent: bestimmt die Position des Kommas und gibt an, um wie viele Stellen es verschoben werden muss
Beispiel im Dezimalsystem:
123,45 = 1,2345⋅102 (das Komma rutscht hinter die höchstwertige Stelle. Es wird also um 2 Stellen nach links verschoben)
Mantisse: 1,2345
Exponent: 2
Vor- und Nachteile:
+ Sehr große und sehr kleine Zahlen können mit derselben Bitzahl dargestellt werden
+ Der Exponent passt sich der Größe der Zahl an, was die Skalierung flexibler macht
- Rechenoperationen sind aufwendiger
- Aufgrund der festen Bitanzahl kann es bei manchen Dezimalzahlen zu Rundungsfehlern kommen
Gleitkommazahlen werden in Anwendungen verwendet, in denen eine große Flexibilität im Wertebereich und eine hohe Rechengenauigkeit benötigt werden. Dazu zählen beispielsweise verschiedene Bereiche in der Physik oder der Ingenieurwissenschaft, aber auch Grafikprozessoren.
Aufgabe:
Denke nochmal über die Unterschiede zwischen Festkomma und Gleitkomma nach. Überlege dir jeweils ein konkretes Anwendungsbeispiel aus dem Alltag (entsprechend nicht unbedingt binär), bei dem eine Festkommazahl bzw. eine Gleitkommazahl verwendet wird.